Come calcolare le funzioni: guida pratica con formule e passaggi
Ora che abbiamo capito cosa sono le funzioni (una regola che trasforma un input x in un output y), vediamo come calcolarle nella pratica. Calcolare una funzione significa quasi sempre:
- Sostituire un valore di x nell’espressione
- Eseguire i calcoli passo per passo
- Ottenere il valore di y (o f(x))
Vediamo i casi più comuni che trovi alle medie e alle superiori, con formule, esempi e grafici.
1. Funzioni lineari (rette) – le più semplici
Formula generale:
y = mx + q
oppure
f(x) = mx + q
- m = coefficiente angolare (pendenza, quanto sale/scende la retta)
- q = intercetta con l’asse y (valore quando x = 0)
Esempio 1
f(x) = 3x − 2
Calcola f(4), f(0), f(−1)
Passaggi:
f(4) = 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10
f(0) = 3·0 − 2 = 0 − 2 = −2
f(−1) = 3·(−1) − 2 = −3 − 2 = −5
Ecco come appare il grafico di una funzione lineare simile (y = 2x + 1):
2. Funzioni quadratiche (parabole)
Formula generale:
f(x) = ax² + bx + c
- a decide se la parabola apre verso l’alto (a > 0) o verso il basso (a < 0)
- c = valore in y quando x = 0 (intercetta y)
- Il vertice (punto più alto o più basso) si trova con:
x_v = −b / (2a)
Poi calcoli y_v sostituendo x_v nella formula.
Esempio 2
f(x) = x² − 4x + 3
Calcola alcuni punti:
| x | calcolo | f(x) |
|---|---|---|
| −1 | (−1)² − 4(−1) + 3 = 1 + 4 + 3 | 8 |
| 0 | 0 − 0 + 3 | 3 |
| 1 | 1 − 4 + 3 | 0 |
| 2 | 4 − 8 + 3 | −1 |
| 3 | 9 − 12 + 3 | 0 |
| 4 | 16 − 16 + 3 | 3 |
Vertice:
x = −b/(2a) = −(−4)/(2·1) = 4/2 = 2
f(2) = 4 − 8 + 3 = −1 → vertice in (2, −1)
Ecco il grafico tipico di una parabola:
3. Funzione valore assoluto (a V rovesciata o a V)
Formula: f(x) = |x|, f(x) = |x − k| + h, ecc.
Esempio 3
f(x) = |x − 2| + 1
| x | x−2 | x−2 | f(x) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | −2 | 2 | 3 | ||
| 1 | −1 | 1 | 2 | ||
| 2 | 0 | 0 | 1 | ||
| 3 | 1 | 1 | 2 | ||
| 5 | 3 | 3 | 4 |
Il punto minimo è (2, 1)
4. Funzioni di grado superiore (cubiche, ecc.)
Esempio semplice: f(x) = x³ − x
Basta calcolare punto per punto come prima.
Per graficarle bene si usano più valori (da −3 a +3 ad esempio).
Ecco un esempio di tabella per una cubica:
Riassunto – Come calcolare qualsiasi funzione (metodo universale)
- Guarda la formula → f(x) = ………………
- Prendi il valore di x che ti chiedono
- Sostituisci ogni x con quel numero
- Rispetta l’ordine delle operazioni:
- potenze → moltiplicazioni e divisioni → addizioni e sottrazioni
- parentesi prima di tutto!
- Calcola passo passo
- Scrivi il risultato
Trucco per non sbagliare mai i segni:
Scrivi sempre il calcolo completo prima di fare i conti, tipo:
f(−3) = (−3)² − 5·(−3) + 7 = 9 + 15 + 7 = 31
Se vuoi esercitarti con una funzione che ti spaventa (esponenziale, logaritmica, trigonometrica, razionale…), scrivimela e la calcoliamo insieme passo per passo.
Buon calcolo! 📊✖️➗